故事二十七：韓信暗點(diǎn)兵

我國(guó)漢初軍事家韓信，神機(jī)妙算，百戰(zhàn)百勝。傳說(shuō)在一次戰(zhàn)斗前為了弄清敵方兵力，韓信化裝到敵營(yíng)外偵察，隔著高大寨墻偷聽(tīng)里面敵將正在指揮練兵。

只聽(tīng)得按3人一行整隊(duì)時(shí)最后剩零頭1人，按5人一行整隊(duì)時(shí)剩零頭2人，7人一行整隊(duì)時(shí)剩零頭3人，11人一行整隊(duì)時(shí)剩零頭1人。據(jù)此韓信很快算出敵兵有892人。于是針對(duì)敵情調(diào)兵遣將，一舉擊敗了敵兵。這就是流傳于民間的故事“韓信暗點(diǎn)兵”。

“韓信暗點(diǎn)兵”作為數(shù)學(xué)問(wèn)題最早出現(xiàn)在我國(guó)的《孫子算經(jīng)》中。原文是“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何子”

用現(xiàn)代話來(lái)說(shuō)：“現(xiàn)在有一堆東西，不知它的數(shù)量，如果三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)最后剩二個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)最后剩三個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)最后剩二個(gè)，問(wèn)這一堆東西有多少個(gè)？”

該書(shū)給出的解法是：

N= 70×2+21×3+15×2?2×10570\times2+21\times3+15\times2-2\times105

這個(gè)解法巧妙之處在于71、21、15這三個(gè)數(shù)。

70可以被5和7整除，并且是用3除余1的最小正整數(shù)，因此 2×702\times70 被3除余 2;

21可以被3和7整除，并且是用5除余1的最小正整數(shù)，因此 3×213\times21 被5除余 3;

15可以被3和5整除，并且是用7除余1的最小正整數(shù)，因此 2×152\times15 被7除余2。

這樣一來(lái)， 70×2+21×3+15×270\times2+21\times3+15\times2 被3除余2，被5除余3，被7除余2。這個(gè)數(shù)大于100，容易算出3、5、7的最小公倍數(shù)是105。從這個(gè)數(shù)中減去兩倍的105，不會(huì)影響被3、5、7除所得的余數(shù)。

N= 70×2+21×3+15×2?2×10570\times2+21\times3+15\times2-2\times105 =23

仿照《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法，來(lái)算一算“韓信暗點(diǎn)兵”：N= 385×1+231×2+330×3+210×1?1155385\times1+231\times2+330\times3+210\times1-1155 =2047-1155=892

“韓信暗點(diǎn)兵”在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史有過(guò)不少有趣的別名，如“鬼谷算”、“秦王暗點(diǎn)兵”、“剪管術(shù)”、“隔墻算”等。

這就是著名的“中國(guó)剩余定理”或“孫子剩余定理”。